تمرین ۴ محاسبه نسبتهای مثلثاتی زاویه نصف حسابان یازدهم
نسبتهای مثلثاتی سینوس و کسینوس را برای زاویه $۲۲.۵^{\circ}$ به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۱۲ حسابان یازدهم
سلام! زاویه $\mathbf{۲۲.۵^{\circ}}$ نصف زاویه $\mathbf{۴۵^{\circ}}$ است. بنابراین، از **فرمولهای زاویه دو برابر** به صورت **فرمولهای زاویه نصف** استفاده میکنیم. 📐
---
### ۱. محاسبه $\cos ۲۲.۵^{\circ}$
از فرمول $\mathbf{\cos ۲\alpha = ۲\cos^۲ \alpha - ۱}$ استفاده میکنیم و $\mathbf{\alpha = ۲۲.۵^{\circ}}$ و $\mathbf{۲\alpha = ۴۵^{\circ}}$ قرار میدهیم:
$$\cos ۴۵^{\circ} = ۲\cos^۲ (۲۲.۵^{\circ}) - ۱$$
$$\frac{\sqrt{۲}}{۲} = ۲\cos^۲ (۲۲.۵^{\circ}) - ۱$$
$$۲\cos^۲ (۲۲.۵^{\circ}) = ۱ + \frac{\sqrt{۲}}{۲} = \frac{۲ + \sqrt{۲}}{۲}$$
$$\cos^۲ (۲۲.۵^{\circ}) = \frac{۲ + \sqrt{۲}}{۴}$$
چون $\mathbf{۲۲.۵^{\circ}}$ در ربع اول است، $\mathbf{\cos ۲۲.۵^{\circ}}$ مثبت است:
$$\mathbf{\cos ۲۲.۵^{\circ} = \sqrt{\frac{۲ + \sqrt{۲}}{۴}} = \frac{\sqrt{۲ + \sqrt{۲}}}{۲}}$$
---
### ۲. محاسبه $\sin ۲۲.۵^{\circ}$
از فرمول $\mathbf{\cos ۲\alpha = ۱ - ۲\sin^۲ \alpha}$ استفاده میکنیم:
$$\cos ۴۵^{\circ} = ۱ - ۲\sin^۲ (۲۲.۵^{\circ})$$
$$\frac{\sqrt{۲}}{۲} = ۱ - ۲\sin^۲ (۲۲.۵^{\circ})$$
$$۲\sin^۲ (۲۲.۵^{\circ}) = ۱ - \frac{\sqrt{۲}}{۲} = \frac{۲ - \sqrt{۲}}{۲}$$
$$\sin^۲ (۲۲.۵^{\circ}) = \frac{۲ - \sqrt{۲}}{۴}$$
چون $\mathbf{۲۲.۵^{\circ}}$ در ربع اول است، $\mathbf{\sin ۲۲.۵^{\circ}}$ مثبت است:
$$\mathbf{\sin ۲۲.۵^{\circ} = \sqrt{\frac{۲ - \sqrt{۲}}{۴}} = \frac{\sqrt{۲ - \sqrt{۲}}}{۲}}$$
